Funciones polinomicas

                         FUNCIONES POLINOMICAS

A través de un problema de un trabajo práctico se puede obtener ciertas conclusiones variando algunos factores.

Al graficar estas funciones :

1. g=x^3+4

2. h=x^3-4

3. p=(x+4)^3

4. q= (x-4)^3

5. r= (x-1)^3+4

Se comparan con la siguiente fórmula: f=x^3

1. Subió del 0 al 4 en Y y en x se corre 7/4

2. Baja 4 con respecto a la Y y se corre 7/4 con respecto a la x

3. Con respecto a la Y queda en 0 pero en x se desplaza del 0 al -4

4. Con respecto a Y queda en 0 pero en x se desplaza del 0 al 4

5. Con respecto a Y se desplaza al 3 y con respecto a la x se desplaza al uno

Esto quiere decir que : el número independiente toma valores de y , si es positivo el número va hacia arriba si es negativo baja.

Cuando el número dependiente se suma algún número , se corre sobre x en valores positivos y si es resta o sea que el número es negativo , se corre en x en valores negativos .

Cuando hay un número dentro del término dependiente se mueve sobre x y si hay un número en el término independiente se mueve sobre y.

Funciones racionales

                                                  La Función Racional

La Función Racional es aquella donde la variable aparece en el denominador.  La gráfica que se genera se denomina Hipérbola.

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Dentro de la Función Racional encontramos una particular: la función de proporcionalidad inversa
                                                               y = k/x  donde k es un número real distinto de 0
                                            Su representación gráfica es una hipérbola equilátera.

Para k > 0 se forma una familia de hipérbolas decrecientes que ocupan el primero y tercer cuadrante

Ejemplo:                                                           y = 2 / x

Para k < 0 se forma una familia de hipérbolas crecientes que ocupan el segundo y cuarto cuadrante

Ejemplo:                                                                             y = - 1 / x

En los siguiente vídeos veremos como traficar la función racional:

Función racional (1)

https://youtu.be/0UmYALTF-V0

Función racional (2)

https://youtu.be/mYxESKxp9X4

Función racional(3)

https://youtu.be/DQW2EfTuBYQ

Función racional (4)

https://youtu.be/gDLgPi2ZdCs

Graficar con geogebra

https://youtu.be/4O3lBwrhR74

Ahora veremos un problema que realizamos en el trabajo practico:                 

El área de un rectángulo de lados x e y, es igual a 1. ¿Cual puede ser la formula de una función f que exprese la medida de y a partir de la medida x? ¿cuales son el dominio y la imagen de f?¿que formula tendrá su gráfica?

Conclusión: La formula de la función y=1/x

Su gráfica esta en el primer cuadrante tiene una curva denominada hipérbola.

Su dominio e imagen son todos los números reales positivos.

No abarca el cero porque no se puede dividir ningún numero.

Funciones trigonometricas

                     FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las funciones trigonométricas son el cociente entre dos lados de un triangulo rectángulo asociados a sus ángulos.

Acá se explica mas detalladamente la trigonométrica: https://www.youtube.com/watch?v=NR5tXWe5cew&t=6s 

Cuadrantes

Ejemplo: Un angulo de 220º se ubicaría en el cuadrante 3.

                Un angulo de 70º en el cuadrante 1.

               Un angulo de 110º en el cuadrante 2.

Ángulos complementarios: Son aquellos cuya suma es 90º
Por ejemplo: el complemento de un angulo de 50º es 40º

Ángulos suplementarios:Son aquellos cuya suma es 180º
Por ejemplo:el suplemento de un angulo de 60º es 120º

Un problema:Un árbol y el suelo hacen un angulo de 90º y su sombra con el suelo tiene un angulo de 36º. El cateto adyacente tiene 11cm. Hay que obtener la altura del árbol.

Se utiliza la tangente porque necesitamos saber el cateto opuesto y tenemos la información del valor del cateto adyacente.

Probabilidad

                    

Ejemplo:

En la vida cotidiana:

Un ejemplo:

¿Que probabilidad de que aciertes en el primer intento una contraseña de 4 dígitos diferentes en una computadora?

Primero analizamos el problema. En una computadora hay 10 números,del 0 al 9, en un dígito de la contraseña podemos utilizar cualquiera de esos 10 números, pero en el siguiente dígito, ya hay un numero que se utilizo, entonces se usan 9, en el tercero 8 y en el cuarto 7.
 De que acierte en el primer intento es una probabilidad, que esa seria la favorable, y posibles se saca multiplicando la cantidad de números que habría en cada dígito:10*9*8*7=5040
La probabilidad seria 1/5040,

Funciones exponenciales

                          FUNCIONES EXPONENCIALES

Estas funciones tienen como domino el conjunto de números reales.

Se expresa f(x)=a^x

A partir de un trabajo practico que hicimos en clases se pueden sacar conclusiones

 Por ejemplo: Bacterias que se reproducen por biparticion que se produce una vez por minuto.

A los 2 minutos se hace 2^2, a los 15 minutos es 2^15 en total se van a crear 32768 bacterias.

El exponente es la cantidad de minutos, la base es la cantidad de bacteria que se produce en la biparticion y la potencia (el resultado) es la cantidad de bacterias reproducidas en ciertos minutos.

 Cuando se presenta esta situación:
2^x=100000, es decir que hay que obtener en que tiempo se reprodujeron 100000 bacterias, se utiliza el logaritmo.
El exponente pasa a multiplicar, a el 2 se le aplica el logaritmo al igual que al 100000.

-Cuando la a es mayor que 1 la función es creciente.
-Cuando la a es menor la función es decreciente.
-Cuando el exponente es negativo la operación se invierte. Ejemplo:243=b^-5  ---- 243=(1/b)^5

Con este ejercicio se presenta una tabla que en la x hay 0 para reemplazarla en el exponente, para poder resolver la ecuación se debe para el 0 como radicando y no se puede resolver:

En la lista de ecuaciones :f(x)=a^x
Los valores de la x son:0 y -2
Conclusiones:
-La x no puede valer 0
-Si es negativa la x se pasa a fraccion la base y el exponente pasa a positivo.

Sucesiones

                                  SUCESIONES 

Como se aplican los numero en la vida cotidiana:

Enteros: Están en el termómetro. Por ejemplo: cuando marca 0º el agua se congela, cuando tiene una temperatura mayor abarca los números positivos enteros y menor los números negativos.

Racionales: Cuando cortamos un alfajor o una pizza,los cortamos a la mitad = 1/2 o la pizza por ejemplo 1/8.

Irracionales: Un ejemplo de estos números es el áureo, que se encuentra el las tarjetas de crédito, marco de ventanas, caja de cigarrillos.

Numero de oro: Lo podemos encontrar en la naturaleza como por ejemplo en el girasol.

Reales: Seria el conjunto que abarca todos los números nombrados anteriormente.

  SUCESIONES NUMÉRICAS

Conjunto infinito de numeros reales.

Aritmetica: Un termino cualquiera y el siguiente es constante en razon.

Su formula es SN=(a1+a2)*n/2

SUCESIONES GEOMÉTRICAS

Cada termino se obtiene a partir del anterior multiplicando siempre por un mismo numero. La razon entre cada termino y el anterior es constante.

La ecuación es: q=a(n+1)/an

Por ejemplo: En un estacionamiento,cuando dejas el auto hay un cartel que dice:

-Media hora:$120

-Por minuto:$5

An se considera como el precio que voy a pagar o dejar el coche N minutos, A1=120 y d=5 contando n a partir del 30.

El elemento se obtiene multiplicando el elemento anterior por una constante denominada razón.

Funcion lineal

                                FUNCIÓN LINEAL

- Una ecuación lineal responde a la formula general Ax+By+C=0 ,su característica principal es que todos sus términos son de primer grado.

-La gráfica es siempre un recta CONTINUA.

-Si es creciente(es positiva) , si decrece (es negativa).

La formula la usamos de esta manera: F(x)a*x+b

La a es el valor de la pendiente, es el numero acompañado por la x y b es el independiente;marca la ordenada al origen(este corte se encuentra en la linea de y).

En la vida cotidiana se utiliza: En el costo del teléfono, Internet por mes, cuando corres en que tiempo lo haces,etc.

Un ejercicio: Un técnico en computación cobra un valor fijo de $200 y $75 la media hora.
Su función seria: 75*x+200
Con esa formula se obtiene lo que hay que pagarle al técnico por la cantidad de horas

funciones cuadraticas

                        FUNCIONES CUADRÁTICAS

Son una función de segundo grado. La x esta elevada a la dos. Se diferencia de la función lineal porque su gráfico tiene una parábola.  

La formula es y=a*x^2+b*x+c

En la vida cotidiana:

Un problema en el aro de basquet, la pelota alcanzara una altura máxima y tardara un cierto tiempo en llegar al aro.
La pelota es lanzada de 1,35 mts de altura y después de 15 segundos esta picando en el piso,después de haber pasado dentro del aro. ¿Cuantos segundos tardo para llegar a su altura máxima? ¿Cual fue su altura máxima?

Para resolver estos problemas existen formulas para sacar la raíz,vértice y el eje de simetría o se pueden obtener de la calculadora científica

FORMAS EN LAS QUE SE EXPRESAN:

Resumiendo:

Un problema de ejemplo:

Un lanzador de peso puede ser modelado usando la ecuacion y= -0.0241x^2+x+5.5
donde x es la distancia recorrida (en pies) y Y es la altura (tambien en pies) ¿que tan largo es el tiro?
Si el lanzamiento termina cuando cae en la tierra. La altura y en esa posicion es 0,entonces la ecuacion se iguala a 0.
0=0,0241x^2+x+5.5
y esta funcion se resuelve usando la forma cuadratica

Solo se utiliza la raiz positiva. RTA: esta a una distancia de 46,4 pies