Matemática: Geometría-5to Única 2017

     GEOMETRÍA

La geometría es una parte de la matemática que se encarga de estudiar las propiedades y las medidas de una figura en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectos de la realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formales o axiomáticos (compuestos por símbolos que se unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como rectas, curvas y puntos, entre otras.

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En este trabajo practico se utilizo la teoría de área, perímetro, volumen.

El área de un cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a). Es el producto de la base por la altura del cuadrado, ya que al ser ambas iguales, el área será un lado al cuadrado. La fórmula del área de un cuadrado también podría obtenerse directamente de la fórmula del área del paralelogramo.

Volumen de un cuadrado

Con estas dos informaciones podemos resolver el siguiente ejercicio.

El recorte de cartón tiene las medidas que se indican en la figura y un área total de 286 cm (cúbicos). ¿cual es el volumen de la caja que se puede armar con este recorte?

Area=b*h

area= (5*7)

area= 35

(4*5)+(7*4)= 48

286-48=238/4=59.5

35*2+7x+5x+7x+5x=286

7x+7x+5x+5x=286-70

24x=216

x=216/24

x=9cm

Volumen= a*a*l

V=9*5*7

V=315 cm(cubicos)

Área del rectángulo

Esta fórmula también podría obtenerse de la fórmula del área del paralelogramo. Si la base del rectángulo es uno de sus lados (en este caso b) , la altura relativa a la base será el lado a, y aplicando la fórmula anterior obtendríamos la del área del rectángulo.

Con esta información se puede resolver el siguiente ejercicio.

Considerando un cubo de 5cm de arista.

a) Calculen su área y su volumen

B)calculen el área y el volumen de la mitad del cubo anterior, si dicha mitad se obtiene cortándolo como indica la figura.

Para obtener el volumen del cubo es

V= a*a*l

v= 5*5*5

v= 125 cm (cúbicos)

Área=5*5 =25*6=150 cm(al cuadrado) 

Para obtener el volumen del prisma es

V= A*A*L

V=5*2.5*5

V=62.5CM (CÚBICOS)

Area= b*a

Area= 2.5*5

Area= 12.5*4= 50

Area= 5*5=25*2=50 

50+50=100cm cuadrados 

Área del triangulo.

Para hallar el área de un rectángulo o paralelogramo, simplemente se multiplica la base por la altura. Dado que un triángulo es la mitad de un rectángulo o de un paralelogramo, entonces deberás encontrar la mitad de la base por la altura.

VOLUMEN

De esta manera se puede resolver el siguiente ejercicio.

Con el recorte de cartón que se muestra en la figura, se puede armar una caja. Se sabe que AB mide 20cm y BC mide 14 cm. Si el volumen de la caja armada es de 2547.47 cm(cubicos)  ¿cual es su área?

En este procedimiento entendimos que los 14 cm es la hipotenusa de el triangulo y seria la tapa de la caja, y la base era de 20 cm . pero si se utiliza teorema de pitagoras tiene que ser 20/2=10cm . Porque solo se realiza con triángulos rectángulos.

Ahora obtenemos la altura de la caja de esta manera;

y ahora podemos obtener el área de la figura !

Área= 98*2+20*26+28*26

ÁREA= 196+520+728

A= 1444

Y así se puede resolver este  problema.

Matematica: Probabilidad-5to Unica 2017

                                                                   PROBABILIDAD

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas.

La probabilidad mide la frecuencia con la que se obtiene un resultado (o conjunto de resultados) al llevar a cabo un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

Probabilides, Algunas Definiciones

Espacio Muestral.- Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} ó E = {c, s}.

 Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es
 E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}
 ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

 Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es
 E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.

 Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}

Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

 1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}
 2. Obtener un número primo y par B = {2}
 3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto
B  C =

Eventos Complementarios.- Si A  B =  y A  B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y
Bc = A

Su Medición Matemática o Clásica. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento A es la razón:
 P(A) = número de casos favorables para A/número total de casos posibles

 A partir de esta definición las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.

 Se deduce de la definición lo siguiente:
 0  P(A)  1 La medición probabilística es un número real entre 0 y 1, inclusive, ó 0%  P(A)  100% en porcentaje.
P() = 0 y P(E) = 1

Su Medición Experimental o Estadística.- La frecuencia relativa del resultado A de un experimento es la razón
 FR = número de veces que ocurre A/número de veces que se realiza el experimento

 Si el experimento se repite un número grande de veces, el valor de FR se aproximará a la medición probabilística P del evento A. Por ejemplo, si lanzo 100 veces una moneda, el número de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.

Matemática: Función Lineal-5to Única 2017

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo codominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x no se pone en la ecuación).

Esta es la gráfica de la función lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este número m se llama pendiente de la recta y es la relación entre la altura y la base, aquí vemos que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m = 3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales

f(x) = 3x+2       Si x es 3,  entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4,  entonces f (4) = 3*4+2 = 14

Si x es 5,  entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, f(x), se incrementa en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es positivo la función es Creciente. Preste atención en que los valores de   x  y de  f(x)  NO SON PROPORCIONALES.

Lo que son proporcionales son los incrementos.

g(x) = -3x+7     Si  x= 0, entonces g (0) = -3*(0) +7 =   0+7 = 7

Si  x= 1, entonces g (1) = -3*(1) +7 = -3+7 = 4

Si  x= 2, entonces g (2) = -3*(2) +7 = -6+7 = 1

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, g(x), disminuye en 3 unidades. Si el valor de la pendiente es negativo la función es Decreciente.

h(x) = 4             Si  x= 0   ,  entonces h(0)  = 4

Si  x= 98   entonces h(98) = 4

Cada vez que la x se incrementa en 1 unidad, el resultado, esto es, h(x), NO aumenta. Es la función constante. Su gráfica es una recta paralela al eje X.

Esta es la representación grafica de los tres tipos de funciones descritas.

Ahora veamos como graficar una función.

z Ejemplos

Representa gráficamente las siguientes funciones lineales  y = 2x  y  y = - 3x + 4

Sugerencia: Primero elabora una tabla de valores, luego ubica los pares de puntos de la tabla en el plano cartesiano y finalmente únelos con una línea recta.

Los valores de x son asignados arbitrariamente o a tu gusto "te aconsejo usar valores pequeños para facilitar las operaciones" luego en la ecuación remplazamos la x por cada valor de la tabla. 

1.       y = 2x
Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

       Para x = - 2, y = 2(-2) = -4  quedando la pareja (-2 , -4)

       Para x =  1,  y = 2(1)  =  2   quedando la pareja (1 , 2)

X	y = 2x
-2	-4
-1	-2
0	0
1	2
2	4

2.       y = - 3x + 4
Vamos a hacerlo con dos valores de x para que sepas de donde salen los valores.

       Para x = - 1, y = -3(-1)+ 4 =  7  quedando la pareja (-1 , 7)

       Para x =  2,  y = -3(2) + 4 = -2   quedando la pareja (2 , -2)

X	y = - 3x + 4
-1	7
0	4
1	1
2	-2
3	-5

Matemática: Función Cuadrática-5to Unica 2017

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax 2 + bx + c

donde a , b y c (llamados términos ) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero .

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax 2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Representación gráfica de una función cuadrática

Si pudiésemos representar en una gráfica "todos" los puntos [x,f(x)] de una función cuadrática , obtendríamos siempre una curva llamada parábola .

Como contrapartida, diremos que una parábola es la representación gráfica de una función cuadrática .

Dicha parábola tendrá algunas características o elementos bien definidos dependiendo de los valores de la ecuación que la generan.

Estas características o elementos son:

Orientación o concavidad (ramas o brazos)

Puntos de corte con el eje de abscisas (raíces)

Punto de corte con el eje de ordenadas

Eje de simetría

Vértice

Orientación o concavidad

Una primera característica es la orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.

Esta distinta orientación está definida por el valor (el signo) que tenga el término cuadrático (la ax 2 ) :

Si  a > 0 (positivo) la parábola es cóncava o con puntas hacia arriba, como en f(x) = 2x 2 − 3x − 5

Si  a < 0 (negativo) la parábola es convexa o con puntas hacia abajo, como en f(x) = −3x 2 + 2x + 3

Además, cuanto mayor sea |a| (el valor absoluto de a), más cerrada es la parábola.

Puntos de corte en el eje de las abscisas (Raíces o soluciones) (eje de las X)

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x , los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0 .

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores  de x para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0 ; que es lo mismo quef(x) = 0 .

Entonces hacemos

ax² + bx +c = 0

Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas) .

Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

Esta característica se puede determinar analizando el discriminante , ya visto en las ecuaciones cuadráticas .

Matemática: Numeros Reales-5to Única 2017

                                                            NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales pertenece en matemáticas a la recta numérica que comprende a los números racionales y a los números irracionales. Esto quiere decir que incluyen a todos los números positivos y negativos, el símbolo cero, y a los números que no pueden ser expresados mediante fracciones de dos enteros que tengan como denominador a números no nulos (excluye al denominador cero).
Un número real puede ser expresado de diferentes maneras, por un lado están los números reales que pueden ser expresados con mucha facilidad, ya que no poseen reglas complejas para hacerlo. Estos son los números enteros y los fraccionarios, como por ejemplo el número 67$67$ que viene a ser un entero, o también el 34$\frac{3}{4}$, que es un número fraccionario compuesto de dos enteros, cuyo numerador es 3$3$ y su denominador es 4$4$. Sin embargo, también existen otros números que pueden ser expresados bajo diferentes reglas matemáticas más complejas como números cuyos decimales son infinitos como el número π$\pi$ o 2–√$\sqrt{2}$ y que sirven para realizar cálculos matemáticos pero no pueden ser representados como un símbolo numérico único.

Los números reales se representa con la letra R$\mathbb{R}$, y aparecen por la necesidad de realizar cálculos más complejos ya que en épocas como entre el siglo XVI y el XVII, se hacían necesarias nuevas cifras para los avances tecnológicos que ya no podían ser representados por cifras aproximadas ni por expresiones coloquiales por su inexactitud. El rigor del avance de la humanidad a partir de sus herramientas, hizo necesaria la creación de nuevas expresiones matemáticas que den mayor exactitud a los cálculos.

Por lo tanto, el conjunto de los números reales se conformó a partir de otros subconjuntos de números que surgían de necesidades en las matemáticas, como los números negativos y los números fraccionarios y decimales. En Europa, cuna de la ciencia en la modernidad, los números negativos no fueron utilizados hasta ya avanzado el siglo XVII, sin embargo, ya habían sido pensados muchos siglos atrás por culturas como la china y la hindú. Incluso se llegaba a descartar las soluciones de cálculos que tenían resultado negativo, por ser considerados números irreales.

Los números fraccionarios por su parte, fueron utilizados por los egipcios para la resolución de diferentes problemas. Pero es en la cultura griega de donde se extrae el actual uso de los racionales, de raciones de números, ya que los utilizaban para definir el espacio entre las notas musicales con relaciones de armonía que correspondían a divisiones en las melodías del sonido. Así se empezó a ver fracciones en otras cosas y sustancias.

A partir de allí, la complejidad de los cálculos empieza a profundizarse y es hasta el teorema de Pitágoras que surgen los números irracionales de los que se hablaba, donde los decimales de la fracción son infinitos y por lo tanto no son expresables en números únicos. De aquí nace el, quizás, primer número irracional que se conoce. A partir del teorema planteado como la constante pitagórica, cuya cifra surge de la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuya longitud de cada uno de sus catetos es 1$1$, la cifra obtenida es 2–√$\sqrt{2}$.

Entonces, el concepto de números reales es que son los números que pueden ser expresados con decimales, incluyendo a aquellos que tienen decimales en infinita expansión. Esto se debe a que en la lógica de los números reales, no hay números exactos. Es decir, la exactitud de un resultado está marcado por la expansión infinita de los decimales de un número, cuyo mejor ejemplo es π$\pi$, y paradójicamente, este no es un número exacto, ya que proviene de la división de la circunferencia para el diámetro de un círculo perfecto. Aclarando mejor con otro ejemplo, es la división de 10÷3$10÷3$ cuya respuesta es 3,333333333333333...

Sistema de Números Reales

El sistema de números reales se compone principalmente de dos grandes conjuntos, el de los números racionales que son aquellos que pueden ser expresados como la división de dos números enteros como 34$\frac{3}{4}$, 15$\frac{1}{5}$, incluso un número entero puede ser expresado como una fracción, ya que el número entero puede ser dividido para 1$1$ sin cambiar su esencia, por ejemplo el número 8$8$ puede ser expresado en fracción así 81$\frac{8}{1}$; mientras que el otro gran conjunto del sistema de números reales es el de los números irracionales cuya representación decimal es expansiva, infinita y aperiódica.

Los números irracionales son un conjunto en sí mismos pero, a su vez, los números racionales tienen subconjuntos que son: las fracciones no enteras con sus respectivas notaciones negativas; los números enteros; dentro de los números enteros están los negativos y los enteros positivos; estos últimos a su vez incluyen a los números naturales y al cero. Para aclarar esta conjunción, se puede graficar como en el diagrama de arriba.

De otra forma, se muestra a continuación un mapa conceptual de números reales:

Representación De Números Reales

En la recta numérica, la representación de números reales se puede hacer con una exactitud aproximada, sin embargo, se pueden usar técnicas para representarlos de forma exacta. Como en el siguiente ejemplo de 7–√$\sqrt{7}$:

Allí se puede ver que la raíz de 7 se puede descomponer para poder trazar un triángulo que cumpla con el teorema de Pitágoras.
Primero se descompone 7 en suma de cuadrados:

7=22+(3–√)2$$7=2^2+(\sqrt{3}{)}^2$$

Los sumandos de esta adición serán los puntos en el eje cartesiano que nos darán la ubicación del número en cada uno de los ejes del plano. La raíz de tres. Para ello primero se debe representar la raíz de 2 o 2–√$\sqrt{2}$, la cual se obtiene al trazar un triángulo cuyos catetos tengan valor de uno y cuya hipotenusa será igual a 2–√$\sqrt{2}$. El vértice superior luego se debe trasladar de forma circular y con pivote en cero hasta llegar a la línea horizontal o eje X:

Con esta representación hecha, se procede a buscar 3–√$\sqrt{3}$, ya que al descomponer este número, obtenemos que:

3=12+(2–√)2$$3=1^2+(\sqrt{2}{)}^2$$

Por lo tanto, en la recta numérica se debe ubicar un punto entre estos dos sumandos, sean 1$1$ y 2–√$\sqrt{2}$ de tal modo que el gráfico, sobre el gráfico anterior quedaría de esta manera:

Finalmente, ya tenemos la ubicación de 3–√$\sqrt{3}$ en el eje X y de 2$2$ en el eje Y. Ahora se procede a ubicar a 7–√$\sqrt{7}$ en la recta numérica, así: